{"id":40,"date":"2023-04-19T17:58:33","date_gmt":"2023-04-19T17:58:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.prepaplus.tv\/blog\/?p=40"},"modified":"2023-04-19T17:58:33","modified_gmt":"2023-04-19T17:58:33","slug":"Methode-explications-de-la-resolution-par-recurrence","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.prepaplus.tv\/blog\/Methode-explications-de-la-resolution-par-recurrence\/","title":{"rendered":"M\u00e9thode : les explications de la r\u00e9solution par r\u00e9currence"},"content":{"rendered":"\n

La r\u00e9solution par r\u00e9currence<\/strong> est une m\u00e9thode que vous apprenez en premi\u00e8re ann\u00e9e de classe pr\u00e9paratoire. La r\u00e9currence est une m\u00e9thode classique qui tombe fr\u00e9quemment aux concours.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C\u2019est pourquoi vous retrouverez toutes les explications concernant la r\u00e9solution par r\u00e9currence et ses sp\u00e9cificit\u00e9s dans cet article !<\/p>\n\n\n\n



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Les sp\u00e9cificit\u00e9s de la r\u00e9solution par r\u00e9currence<\/h2>\n\n\n\n

Le but de la r\u00e9currence est de montrer qu\u2019une proposition est vraie pour l\u2019ensemble des termes d\u2019un ensemble ou d\u2019un intervalle<\/strong>.<\/strong> Pour montrer cela, la m\u00e9thode de la r\u00e9currence se constitue de trois \u00e9tapes : <\/p>\n\n\n\n

    \n\n\n\n
  1. \nL\u2019initialisation<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n
  2. \nL\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n
  3. \nLa conclusion<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n<\/ol>\n\n\n\n

    Avant de commencer la r\u00e9currence, il vous faut \u00e9noncer ce que vous souhaitez montrer \u00e0 travers cette m\u00e9thode.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Exemple de phrase d\u2019introduction \u00e0 la r\u00e9solution par r\u00e9currence : Montrons par r\u00e9currence, pour tout n \u2208 \u2115, que P(n) : \u00ab la proposition que vous souhaitez montrer \u00bb est vraie.<\/p>\n\n\n\n

    Voyons maintenant la m\u00e9thode pour chacune des \u00e9tapes de la r\u00e9currence.<\/p>\n\n\n\n

    Tout d\u2019abord l\u2019initialisation<\/strong>, le but de l\u2019initialisation est de montrer que la proposition est vraie pour le premier terme de l\u2019ensemble, de l\u2019intervalle.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    En reprenant l\u2019exemple plus haut, puisque notre ensemble de d\u00e9finition est \u2115, le premier terme pour lequel nous allons montrer que la proposition est vraie est 0.<\/p>\n\n\n\n

    Autre exemple<\/strong> : Si l\u2019ensemble de d\u00e9finition \u00e9tait \u2115*, alors le premier terme pour lequel il faut montrer que la proposition est vraie serait 1.<\/p>\n\n\n\n

    Maintenant que vous avez montr\u00e9 l\u2019initialisation, vient l\u2019\u00e9tape la plus compliqu\u00e9e de la r\u00e9currence, l\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

    Le but de l\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 est de montrer que si la proposition est vraie pour un terme n, quelconque, alors la proposition est aussi vraie pour le terme suivant, donc vraie pour n+1.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Exemple<\/strong> d\u2019introduction \u00e0 l\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 : Soit n \u2208 \u2115, supposons que P(n) est vraie, montrons maintenant que P(n+1) : \u00ab La proposition en n+1 \u00bb est vraie.<\/p>\n\n\n\n

    Attention \u00e0 bien sp\u00e9cifier la proposition en n+1 et \u00e0 ne pas se tromper dans son \u00e9criture !!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Dans l\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9, vous devrez utiliser \u00e0 un certain moment le principe de r\u00e9currence<\/strong>, c\u2019est-\u00e0-dire utiliser le fait que la proposition P(n) soit vraie pour arriver \u00e0 P(n+1) soit par des implications, soit par des \u00e9quivalences.<\/p>\n\n\n\n

    Attention, lorsque vous utilisez ce principe, il est primordial que vous l\u2019\u00e9nonciez avec une phrase \u00e0 droite des implications \/ \u00e9quivalence. Par exemple : \u00e0 droite des implications \/ \u00e9quivalences \u00ab Par principe de r\u00e9currence \u00bb.<\/p>\n\n\n\n

    Nous voil\u00e0 maintenant arriv\u00e9 \u00e0 la derni\u00e8re \u00e9tape de la r\u00e9solution, qui est la plus simple la <\/strong>conclusion.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Vous avez, avant d\u2019arriver \u00e0 la conclusion, montrer l\u2019initialisation et l\u2019h\u00e9r\u00e9dit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

    Il vous fait maintenant conclure quant \u00e0 cette r\u00e9solution par r\u00e9currence.<\/p>\n\n\n\n

    Exemple<\/strong> de conclusion \u00e0 la r\u00e9currence : Par principe de r\u00e9currence, nous avons montr\u00e9 que pour tout n \u2208 \u2115, que P(n) : \u00ab la proposition que vous souhaitez montrer \u00bb.<\/p>\n\n\n\n



    <\/p>\n\n\n\n

    Dans quelles situations utilise-t-on la r\u00e9solution par r\u00e9currence ?<\/h2>\n\n\n\n

    Maintenant que vous connaissez chacune des \u00e9tapes de la r\u00e9currence, il vous faut maintenant savoir dans quelle situation l\u2019utiliser !<\/p>\n\n\n\n

    Comme nous l\u2019avons dit, la r\u00e9solution par r\u00e9currence sert \u00e0 montrer qu\u2019une proposition est vraie pour tous les termes d\u2019un ensemble ou d\u2019un intervalle.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Lorsque vous voyez ce type de question : Montrer que pour tout n \u2208 \u2115, \u2026 Souvent s\u2019il n\u2019y a pas de m\u00e9thode simple pour montrer la proposition, une r\u00e9solution par r\u00e9currence s\u2019impose.<\/p>\n\n\n\n

    Par exemple, dans un exercice, vous avez une suite Un, quelconque, sa relation de r\u00e9currence, o\u00f9 Un+1 exprim\u00e9 en fonction de Un, et son premier terme U0. On vous demande alors de montrer que cette suite Un avec n d\u00e9finie sur \u2115 est strictement positif.
    Dans ce cas, le meilleur moyen de montrer cela est d\u2019utiliser la r\u00e9solution par r\u00e9currence.<\/p>\n\n\n\n



    <\/p>\n\n\n\n

    R\u00e9sum\u00e9<\/h2>\n\n\n\n