{"id":46,"date":"2024-10-09T15:11:56","date_gmt":"2024-10-09T15:11:56","guid":{"rendered":"https:\/\/www.prepaplus.tv\/blog\/?p=46"},"modified":"2024-10-09T15:11:56","modified_gmt":"2024-10-09T15:11:56","slug":"Techniques-pour-inverser-matrice","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.prepaplus.tv\/blog\/Techniques-pour-inverser-matrice\/","title":{"rendered":"Les techniques pour inverser une matrice"},"content":{"rendered":"\n<p id=\"docs-internal-guid-f383e82c-7fff-3e90-3e59-a230b91df2f5\" class=\"wp-block-paragraph\"><strong>L\u2019inversion de matrice fait partie des questions classiques en alg\u00e8bre lin\u00e9aire<\/strong>. Il est donc primordial de conna\u00eetre l\u2019ensemble des techniques et m\u00e9thodes pour inverser une matrice pour gagner un maximum de points aux DST et aux concours.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00e9couvrez dans cet article les techniques pour inverser une matrice ! Si vous ne parvenez pas \u00e0 comprendre les trois m\u00e9thodes expos\u00e9es ci-dessous, <strong>testez dans un premier temps sur une matrice 2X2 puis sur matrice 3X3 avant de vous attaquer \u00e0 une matrice avec un nombre de lignes et de colonnes plus importants<\/strong>. Dans le cas o\u00f9 des zones d\u2019ombres persistent, nous vous conseillons de faire appel \u00e0 un cours particulier de maths pour vous aider. Un prof de maths que vous pouvez trouver sur des plateformes comme <strong><a href=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/\">Groupe R\u00e9ussite<\/a>&nbsp;ou le Bon Coin<\/strong> reviendra en d\u00e9tail sur les m\u00e9thodes d\u2019inversion de matrices avec des exemples pr\u00e9cis et des exercices d\u2019application pour vous aider \u00e0 bien maitriser tous les aspects.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Trouver l\u2019inverse avec la m\u00e9thode AA-1 = I<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette m\u00e9thode est la plus classique, elle reprend la d\u00e9finition de la matrice inverse&nbsp;: <strong>u<\/strong><strong>ne matrice multipli\u00e9e par son inverse nous donne la matrice nulle.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Dans quelles situations utilise-t-on cette m\u00e9thode&nbsp;?<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vous utilisez cette m\u00e9thode lorsque vous avez&nbsp;au pr\u00e9alable :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n\n\n\n<li>\n<strong>Un polyn\u00f4me annulateur de la matrice A<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n<li>\n<strong>Une combinaison lin\u00e9aire avec la matrice A \u00e9gale \u00e0 0, I ou A<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lorsque vous vous retrouvez dans cette situation, vous partez de votre point de d\u00e9part <strong>pour <\/strong><strong>arriver au r\u00e9sultat AA-1 = I<\/strong><strong>.<\/strong> Votre seul travail dans ce cas-l\u00e0, est une r\u00e9solution d\u2019\u00e9quation et votre but est de d\u00e9terminer A-1.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Calcul de l\u2019inverse avec la m\u00e9thode du pivot de Gauss<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans cette m\u00e9thode, beaucoup de <strong>calcul<\/strong> sont n\u00e9cessaires. Tout d\u2019abord la <strong>m\u00e9thode du pivot de Gauss<\/strong>&nbsp;(avec des op\u00e9rations sur les lignes de la matrice) vous permet non seulement de <strong>montrer que qu\u2019une matrice est inversible, mais aussi de d\u00e9terminer son inverse.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Par exemple, si vous avez une matrice de 3 lignes et 3 colonnes et que l\u2019on vous demande de montrer qu\u2019elle est inversible et de d\u00e9terminer son inverse, vous pouvez utiliser la m\u00e9thode du pivot de Gauss.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vous avez votre matrice, quelconque A (3 lignes et 3 colonnes) \u00e0 gauche et une matrice identit\u00e9, I, \u00e0 droite. <br>En faisant des <strong>op\u00e9rations sur les lignes<\/strong> de la matrice A, que vous r\u00e9percutez sur votre matrice I. Voici les diff\u00e9rentes \u00e9tapes&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n\n\n\n<li>\nArriver \u00e0 une <strong>matrice triangulaire sup\u00e9rieur ou inf\u00e9rieur<\/strong> gr\u00e2ce aux op\u00e9rations sur les lignes.\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n<li>\nSi votre matrice triangulaire poss\u00e8de des <strong>coefficients non nuls sur la diagonale alors elle est inversible<\/strong>. Si un des coefficients diagonaux est nul alors votre matrice A n\u2019est pas inversible.\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n<li>\nSi la matrice est inversible, le travail continue&nbsp;: Avec les op\u00e9rations sur les lignes, <strong>il faut que votre matrice triangulaire devienne une matrice identit\u00e9.<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lorsque vous arrivez \u00e0 cette derni\u00e8re \u00e9tape, vous avez non seulement montr\u00e9 que votre matrice de d\u00e9part, A, \u00e9tait inversible, mais vous avez aussi d\u00e9termin\u00e9 son inverse qui est la matrice finale \u00e0 droite de A.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Attention<\/strong>&nbsp;: Ne vous trompez pas dans vos calculs lorsque vous faites les op\u00e9rations sur les lignes. De plus, v\u00e9rifiez bien que votre matrice inverse est juste en calculant au brouillon AA-1, pour voir si le r\u00e9sultat est bien la matrice identit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Calcul de l\u2019inverse par la r\u00e9solution d\u2019un syst\u00e8me<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le th\u00e9or\u00e8me appliqu\u00e9 ici est&nbsp;:&nbsp;<strong>une matrice A est inversible si et seulement pour tout X et Y, deux matrices colonnes, le syst\u00e8me lin\u00e9aire AX = Y admet une unique solution.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Quel est votre objectif dans la r\u00e9solution du syst\u00e8me&nbsp;?<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Prenons un exemple avec une matrice quelconque avec trois lignes et trois colonnes, A, les matrices colonnes X (compos\u00e9e des coefficients x, y, z) et Y (compos\u00e9e des coefficients a, b, c).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Votre but est de d\u00e9terminer la matrice inverse A-1. Pour cela <strong>votre point de d\u00e9part est le syst\u00e8me AX = Y, votre point d\u2019arriv\u00e9e sera X = A-1Y<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Quels sont les \u00e9tapes pour y arriver&nbsp;?<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n\n\n\n<li>\n<strong>Important&nbsp;: Un syst\u00e8me de matrice<\/strong><strong> peut s\u2019\u00e9crire comme un<\/strong> syst\u00e8me d\u2019\u00e9quation\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n<li>\nVous avez votre syst\u00e8me d\u2019\u00e9quation, votre objectif avec les \u00e9quivalences et les op\u00e9rations sur les lignes et <strong>d\u2019exprimer x, y et z en fonction de combinaison lin\u00e9aire de a, b, et c<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n\n\n\n<li>\nLorsque vous trouvez le r\u00e9sultat du syst\u00e8me,<strong> les coefficients devant les inconnues a, b et c sont les coefficients de la matrice A-1<\/strong>\n<\/li>\n\n\n\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Conclusion<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Inverser une matrice s\u2019effectue de trois mani\u00e8res&nbsp;: <strong>trouver une forme AA-1 = I&nbsp;; Calcul de l\u2019inverse par la m\u00e9thode du pivot de Gauss&nbsp;: Calcul de l\u2019inverse par la r\u00e9solution d\u2019un syst\u00e8me.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il est donc important de savoir inverser une matrice pour ne pas se retrouver bloqu\u00e9 lors des DST et surtout aux concours.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De plus, au-del\u00e0 des techniques d\u2019inversion de matrice, il est tout aussi n\u00e9cessaire de savoir comment montrer qu\u2019une matrice est inversible&nbsp;!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lire plus : <a href=\"https:\/\/www.prepaplus.tv\/blog\/34\/Methode-reussir-raisonnement-par-l-absurde\">M\u00e9thode : r\u00e9ussir un raisonnement par l\u2019absurde&nbsp;<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>L\u2019inversion de matrice fait partie des questions classiques en alg\u00e8bre lin\u00e9aire. 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