Les techniques pour inverser une matrice

L’inversion de matrice fait partie des questions classiques en algèbre linéaire. Il est donc primordial de connaître l’ensemble des techniques et méthodes pour inverser une matrice pour gagner un maximum de points aux DST et aux concours.

Découvrez dans cet article les techniques pour inverser une matrice !

Trouver l’inverse avec la méthode AA-1 = I

Cette méthode est la plus classique, elle reprend la définition de la matrice inverse : une matrice multipliée par son inverse nous donne la matrice nulle.

Dans quelles situations utilise-t-on cette méthode ?

Vous utilisez cette méthode lorsque vous avez au préalable :

• Un polynôme annulateur de la matrice A

• Une combinaison linéaire avec la matrice A égale à 0, I ou A

Lorsque vous vous retrouvez dans cette situation, vous partez de votre point de départ pour arriver au résultat AA-1 = I. Votre seul travail dans ce cas-là, est une résolution d’équation et votre but est de déterminer A-1.

Calcul de l’inverse avec la méthode du pivot de Gauss

Dans cette méthode, beaucoup de calcul sont nécessaires. Tout d’abord la méthode du pivot de Gauss (avec des opérations sur les lignes de la matrice) vous permet non seulement de montrer que qu’une matrice est inversible, mais aussi de déterminer son inverse.

Par exemple, si vous avez une matrice de 3 lignes et 3 colonnes et que l’on vous demande de montrer qu’elle est inversible et de déterminer son inverse, vous pouvez utiliser la méthode du pivot de Gauss.

Vous avez votre matrice, quelconque A (3 lignes et 3 colonnes) à gauche et une matrice identité, I, à droite.
En faisant des opérations sur les lignes de la matrice A, que vous répercutez sur votre matrice I. Voici les différentes étapes :

1. Arriver à une matrice triangulaire supérieur ou inférieur grâce aux opérations sur les lignes.

2. Si votre matrice triangulaire possède des coefficients non nuls sur la diagonale alors elle est inversible. Si un des coefficients diagonaux est nul alors votre matrice A n’est pas inversible.

3. Si la matrice est inversible, le travail continue : Avec les opérations sur les lignes, il faut que votre matrice triangulaire devienne une matrice identité.

Lorsque vous arrivez à cette dernière étape, vous avez non seulement montré que votre matrice de départ, A, était inversible, mais vous avez aussi déterminé son inverse qui est la matrice finale à droite de A.

Attention : Ne vous trompez pas dans vos calculs lorsque vous faites les opérations sur les lignes. De plus, vérifiez bien que votre matrice inverse est juste en calculant au brouillon AA-1, pour voir si le résultat est bien la matrice identité.

Calcul de l’inverse par la résolution d’un système

Le théorème appliqué ici est : une matrice A est inversible si et seulement pour tout X et Y, deux matrices colonnes, le système linéaire AX = Y admet une unique solution.

Quel est votre objectif dans la résolution du système ?

Prenons un exemple avec une matrice quelconque avec trois lignes et trois colonnes, A, les matrices colonnes X (composée des coefficients x, y, z) et Y (composée des coefficients a, b, c).

Votre but est de déterminer la matrice inverse A-1. Pour cela votre point de départ est le système AX = Y, votre point d’arrivée sera X = A-1Y

Quels sont les étapes pour y arriver ?

1. Important : Un système de matrice peut s’écrire comme un système d’équation

2. Vous avez votre système d’équation, votre objectif avec les équivalences et les opérations sur les lignes et d’exprimer x, y et z en fonction de combinaison linéaire de a, b, et c

3. Lorsque vous trouvez le résultat du système, les coefficients devant les inconnues a, b et c sont les coefficients de la matrice A-1

Conclusion

Inverser une matrice s’effectue de trois manières : trouver une forme AA-1 = I ; Calcul de l’inverse par la méthode du pivot de Gauss : Calcul de l’inverse par la résolution d’un système.

Il est donc important de savoir inverser une matrice pour ne pas se retrouver bloqué lors des DST et surtout aux concours.

De plus, au-delà des techniques d’inversion de matrice, il est tout aussi nécessaire de savoir comment montrer qu’une matrice est inversible ! 

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