Cours prépa ECG 2 - Maths approfondies
Algèbre bilinéaire
Cours prépa ECG 2 - Maths approfondies
Algèbre bilinéaire
Algèbre
5h 13 min de cours
11 vidéos
Fréquence au concours
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À propos du chapitre
L'algèbre bilinéaire est une très grosse partie du programe d'algèbre en prépa et un incontournable au concours. Il permet par ailleurs d'obtenir des résultats sur certains endomorphismes que nous verrons dans un autre chapitre (endomorphismes symétriques). Nous abordons dans ce chapitre les notions de formes bilinéaires, produits scalaires, normes euclidiennes, espace euclidiens, espaces pré-hilbertien ainsi que tout ce qui se rapporte à l'orthogonalité de vecteurs permettant d'orthonormaliser des bases. Nous étudierons en détails dans ce chapitre l'impact de tels procédés.
Les automatismes acquis
- Manier les formes bilinéaires, produits scalaires, normes euclidiennes
- Connaître l'inégalité de Cauchy-Schwarz
- Maîtriser les notions afférentes à l'orthogonalité
- Savoir identifier des familles et bases orthogonales/orthonormales
- Maîtriser le processus de Gram-Schmidt d'orthonormalisation d'une base
- Comprendre les liens matriciels inhérents aux changements de bases orthonormaux
- Identifier une projection orthogonale et être capable d'utiliser les théorèmes de minimisation qui découlent de cette notion
Les vidéos du chapitre
Cours 1
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Formes bilinéaires
Nous introduisons ce que sont les formes bilinéaires ainsi que les différents attributs et propriétés de celles-là.
51 min
Cours 2
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Exercice - Formes bilinéaires
Quelques formes bilinéaires classiques en exrcice
18 min
Cours 3
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Produits scalaires - Espaces euclidiens
Cette vidéo définit ce qu'est un produit scalaire, une forme bilinéaire un peu particulière.
28 min
Cours 4
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Inégalités de Cauchy-Schwarz
Cette vidéo explicite l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les produits scalaires.
15 min
Cours 5
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Normes euclidiennes
Un lien peut être fait entre norme et produit scalaire, nous verrons les propriétés qui en découlent.
10 min
Cours 6
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Orthogonalité
L'orthogonalité est une notion incontournable de ce chapitre. Nous verrons ce qu'est l'rthogonalité de deux vecteurs, de deux sous-espaces vectoriels ce qui nous permettra de définir l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel.
42 min
Cours 7
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Familles et bases orthogonales/orthonormale
Nous définissons ici les familles orthogonales et les familles orthonormales ce qui nous permettra d'introduire les bases orthognales et orthonormales.
28 min
Cours 8
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Procédé d'orthonormalisation
Il est possible "d'orthonormaliser" une base d'un EV et ce via le procédé très classique de Gram-Schmidt.
38 min
Cours 9
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Changements de base orthonormales
Passer d'une base orthonormale à une autre peut nous donner des résultats de par leurs répresentations matricielles que nous étudions dans cette vidéo.
39 min
Cours 10
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Projections orthogonales
Nous savons ce qu'est une projection orthogonale, voyons désormais ce qu'est une projection sur un sous-espace vectoriel dans la direction de son orthogonal.
40 min
Cours 11
CHAPITRE : Algèbre bilinéaire
Exercice additionnel
Un petit exercice pour aller plus loin utilisant les notions d'algèbre bilinéaire au service de la miniisation d'une fonction via les projections orthogonales.
8 min
