Cours prépa ECS 1

Applications linéaires

Cours prépa ECS 1

Applications linéaires

Algèbre

3h 10 de cours

7 vidéos

Fréquence au concours

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À propos du chapitre

Après avoir étudié les espaces vectoriels et familles de vecteurs, ce chapitre s’intéresse aux applications d’un espace vectoriel (de départ) à un autre (d’arrivée).

L’objectif est de pouvoir démontrer qu’une application est linéaire afin de pouvoir déterminer le noyau et l’image de f. Ker(f) et Im(f) sont en effet des espaces vectoriels qu’il est essentiel de comprendre et de savoir déterminer. Enfin, nous verrons comment comprendre et utiliser le théorème du rang.

Il existe par ailleurs 3 applications linéaires particulières que sont : les endomorphismes, les automorphismes et les isomorphismes. Des mots compliqués mais des notions en réalité très simples que l’on étudiera en détail pour le cas particulier des endomorphismes.

Les automatismes acquis

  • Démontrer qu’une application est une application linéaire
  • Démontrer qu’une application est un endomorphisme
  • Déterminer le noyau d’une application linéaire f (Ker f)
  • Déterminer l’image d’une application linéaire f (Im f)
  • Comprendre et utiliser le théorème du rang et toutes ses conséquences
  • Comprendre et démontrer l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité d’une application linéaire

Les vidéos du chapitre

Cours 1
CHAPITRE : Applications linéaires
Généralités sur les applications linéaires
L'objectif de cette vidéo est de vous expliquer ce qu'est une application linéaire et un endomorphisme et comment le démontrer dans le cas de triplets, de matrices et de polynômes avec des exercices corrigés

22 min

Cours 2
CHAPITRE : Applications linéaires
Caractérisation d'une application linéaire dans une base
Nous voyons dans cette vidéo une autre manière d'exprimer une application linéaire, de la caractériser, via les bases de notre espace de départ.

22 min

Cours 3
CHAPITRE : Applications linéaires
Noyau et Image d'une application linéaire
Le noyau d'une application linéaire est un des espaces clés à maîtriser. Il faut le comprendre, savoir le déterminer et commnaître les grandes propriétés de cet espace vectoriel.Tout comme le Ker, l'ensemble image d'une application linéaire est un espace vectoriel à comprendre et à savoir déterminer. Nous voyons toutes les façons de déterminer cet espace vectoriel dans le cas de listes, de matrices, de polynômes

38 min

Cours 4
CHAPITRE : Applications linéaires
Théorème du rang
Ce qui importe dans le théorème du ranf, c'est bien sûr de le connaître mais aussi et surtout de savoir comment l'utiliser et notamment ses conséquences quant aux endormorphismes. Les corrollaires du théorèmes du rang sont essentiels et cette vidéo centrale tout ce que le théorème du rang vous permet de conclure dans les exercices.

32 min

Cours 5
CHAPITRE : Applications linéaires
Opérations sur les applications linéaires
Nous voyons l'ensemble des opérations classiques sur les opérations linéaires.

14 min

Cours 6
CHAPITRE : Applications linéaires
Applications linéaires particulières
Cette vidéo retrace les quelques applications linéaires classiques du programme : involution, symétrie , projecteur et projection.

34 min

Cours 7
CHAPITRE : Applications linéaires
Exercice bilan

28 min

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